Mandelbrot-Fraktal

Das Bild rechts ist eine Darstellung der komplexen Ebene in einem Quadrat der Kantenlänge 4 um den Nullpunkt. Jeder Pixel stellt eine kompexe Zahl c aus diesem Quadrat dar. Für alle diese Zahlen wird folgende Berechnung ausgeführt: Der Ausdruck z²+c wird berechnet, wobei zunächst für z der Wert c eingesetzt wird.Die Berechnung wird wiederholt, indem das Ergebnis der Berechnung für z eingesetzt wird.

So entsteht eine Folge von Werten. Vor der Berechnung des jeweils nächsten Wertes wird überprüft, ob der Wert noch innerhalb des Kreises liegt, der im Bild grau gefärbt ist. Liegt er außerhalb des Kreises so wird die Berechnung abgebrochen, die Werte würden immer weiter bis ins Unendliche ansteigen. Die Farbe des Pixels zeigt an, wieoft die Berechnung wiederholt wurde. Für die blau gefärbten Pixel bleiben die Werte für immer innerhalb des Kreises. Man nennt diesen Bereich Mandelbrot-Menge, nach dem Mathematiker Mandelbrot, der dieses Phänomen entdeckt hat. Man nennt sie wegen ihrer Form auch Apfelmännchen.

Wenn diese Berechnung per Computer durchgeführt wird, muss man mit der Überprüfung irgendwann aufhören. Bei dem diesem Bild zugrunde liegenden Programm wurde nach 10 Tsd. Wiederholungen abgebrochen.

Am Rand dieses blauen Bereichs ändert sich das Verhalten der Berechnung abrupt. Der Rand wird daher Mandelbrot-Fraktal genannt.
Details des Mandelbrot-Fraktals können Sie sich ansehen unter: