Fraktale: Mandelbrot - Julia - Newton
Newton-Fraktal zu P1 = z3-1
Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen komplexer Polynome ist ein Näherungsverfahren, bei dem man durch schrittweise Berechnung dem Wert der Nullstelle immer näher kommt. Für ein Polynom P(z) geschieht dies durch die Funktion f(z) = z -P(z)/P'(z).
Das nebenstehende Bild zeigt diese Berechnung für das Beispiel P1 = z3-1 für alle als Pixel darstellbaren Werte c der komplexen Ebene im Bereich eines Quadrats der Kantenlänge 4 um den Nullpunkt. Jeder Wert c wird für z in f(z) eingesetzt und dann der Ergebniswert f(c) erneut für z in f(z) eingesetzt. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis man mit der Genauigkeit des Ergebnisses zufrieden ist.
Die Nullstellen liegen in der Mitte der hellsten Kreise in den großen Farbflächen. Jeder Pixel stellt einen Ausgangswert der Berechnung dar. Seine Farbe zeigt die Farbe der Nullstelle an, zu der ihn die Berechnung geführt hat. Je dunkler die Farbe des Pixels, desto mehr Berechnungen waren notwendig, um die Nullstelle zu erreichen.
Unerwarteter Weise gibt es jetzt viele Bereiche, in denen sich die Berechnung nicht der c am nächsten liegenden Nullstelle zugewandt hat, und wenn man sich der Grenze eines Farbbereichs nähert, kann man nicht einmal vorhersagen, welcher Nullstelle sich der Wert von c zuwenden wird, wenn die Grenze überschritten wird. Diese Ränder der Farbflächen werden daher als das Newton-Fraktal von P1 bezeichnet. Es folgen zwei Ausschnitte:
Das zweite Bild zeigt das Zentrum des ersten. Bei dieser Berechnung reichen 50 Wiederholungen bei weitem aus. Es wurden 30 Farbtöne für die ersten 30 Wiederholungen vorgesehen.